星空小屋

Appearance

二分搜索树又称二分排序树，它具有很多优异的性质，能快速完成特定场景下的需求，同时也是一个很好的联系递归思维的数据结构。

  • 根节点：最顶层的节点
  • 叶子节点：最底层的节点

二分搜索树

基本结构 ​

新建一个BST类，二分搜索树的底层是链表，其中子类Node来表示链表结构，BST维护root根节点和树的大小。

java
public class BST<E extends Comparable<E>> {

    private class Node {
        public E e;
        public Node left, right;

        public Node(E e) {
            this.e = e;
            left = null;
            right = null;
        }
    }

    private Node root;
    private int size;

    public BST() {
        root = null;
        size = 0;
    }

    public int size() {
        return size;
    }

    public boolean isEmpty() {
        return size == 0;
    }
}

二分搜索树的添加方法 ​

首先来看添加操作，如果树为空则添加根节点，否则进行下一步操作，具体看注释。

java
public class BST<E extends Comparable<E>> {

    public void add(E e) {
        root = add(root, e);
        if (root == null) {
            root = new Node(e);
            size++;
        }else {
            add(node,e);
        }
    }

    private void add(Node node, E e) {
        if (node.e.equals(e)) {
            return; // 1.如果相等，则不进行添加
        } else if (e.compareTo(node.e) < 0 && node.left == null) { // 2.如果 e<node.e 且左子树为空，则新建到左子树
            node.left = new Node(e);
            size++;
        } else if (e.compareTo(node.e) > 0 && node.right == null) { // 3.如果 e>node.e 且右子树为空，则新建到叶子节点
            node.right = new Node(e);
            size++;
        } else if (e.compareTo(node.e) < 0) { // 4.如果 e<node.e，则递归调用左子树，直到遍历到叶子节点
            add(node.left, e);
        } else {
            add(node.right, e); // 4.如果 e>node.e，则递归调用右子树，直到遍历到叶子节点
        }
    }
}

二分搜索树的添加方法改进 ​

上述的方法有没有问题？首先添加操作需要额外对添加根节点进行判断，下面介绍一种更加优雅的方法，不但能解决这个问题，还能使得代码更加简洁。

java
public class BST<E extends Comparable<E>> {

    public void add(E e) {
        root = add(root, e);
    }

    // 添加方法改进版
    private Node add(Node node, E e) {
        if (node == null) {
            size++;
            return new Node(e);
        }
        if (e.compareTo(node.e) <= 0) {
            node.left = add(node.left, e); //宏观理解方式：对node.left进行重新赋值，这是通过递归得到包含新数据的树
        } else if (e.compareTo(node.e) > 0) {
            node.right = add(node.right, e);
        }
        return node;
    }
}

是否包含某数据 ​

同样是采用递归实现，如果比node节点大就去右子树找，如果比node节点小就去左子树找，找到最后如果为null就是不包含。

java
public class BST<E extends Comparable<E>> {  
    public boolean contains(E e) {
        return contains(root, e);
    }

    private boolean contains(Node node, E e) {
        if (node == null) {
            return false;
        }
        if (e.compareTo(node.e) == 0) {
            return true;
        }
        if (e.compareTo(node.e) < 0) {
            return contains(node.left, e);
        } else {
            return contains(node.right, e);
        }
    }
}

二分搜索树的前序遍历 ​

二分搜索树的前序遍历的记忆法则是“根左右"，即先遍历根节点,再遍历左子树节点，再遍历右子树节点。递归实现起来很容易，三步即可解决，先输出数据，然后递归左子树，最后递归右子树。

java
public class BST<E extends Comparable<E>> {  
    public void preOrder() {
        preOrder(root);
    }

    private void preOrder(Node node) {
        if (node == null) {
            return;
        }
        System.out.print(node.e+"\t");
        preOrder(node.left);
        preOrder(node.right);
    }
}

二分搜索树的中序与后序遍历 ​

有了前序遍历的基础，中序与后序也很简单，相对而言计算机领域常考的是其遍历结果，不过这不是本篇文章的重点，就不过多赘述了。

java
public class BST<E extends Comparable<E>> {
	/** 二分搜索树中序遍历 */
    public void inOrder() {
        inOrder(root);
        System.out.println();
    }

    private void inOrder(Node node) {
        if (node == null) {
            return;
        }
        inOrder(node.left);
        System.out.print(node.e+"\t");
        inOrder(node.right);
    }

    /** 二分搜索树后序遍历 */
    public void postOrder() {
        postOrder(root);
        System.out.println();
    }

    private void postOrder(Node node) {
        if (node == null) {
            return;
        }
        postOrder(node.left);
        postOrder(node.right);
        System.out.print(node.e+"\t");
    }
}

注意看中序遍历的数据，发现是有序的。

二分搜索树遍历的测试 ​

java
public static void main(String[] args) {
    BST<Integer> bst = new BST<>();

    ///////////////////////
    //        5          //
    //      /   \        //
    //     3     6       //
    //    / \   / \      //
    //   2   4     8     //
    //            /      //
    //           7       //
    ///////////////////////
    int[] nums = {5, 3, 6, 8, 4, 2, 7};
    for (int num : nums) {
        bst.add(num);
    }
    System.out.print("前序遍历：");
    bst.preOrder();
    System.out.print("中序遍历：");
    bst.inOrder();
    System.out.print("后序遍历：");
    bst.postOrder();
}

测试结果：

shell
前序遍历：5	3	2	4	6	8	7	
中序遍历：2	3	4	5	6	7	8	
后序遍历：2	4	3	7	8	6	5

重写二分搜索树的toString方法 ​

为了方便测试，这里简单重写下toString方法，将树的深度遍历出来，效果没有上述注释部分表示的明显。

java
public class BST<E extends Comparable<E>> {    
	@Override
    public String toString() {
        StringBuffer res = new StringBuffer();
        generateBSTString(root, 0, res);
        return res.toString();
    }

    private void generateBSTString(Node node, int depth, StringBuffer res) {
        if (node == null) {
            res.append(generateDepthString(depth) + "null\n");
            return;
        }
        res.append(generateDepthString(depth) + node.e + "\n");
        generateBSTString(node.left, depth + 1, res);
        generateBSTString(node.right, depth + 1, res);
    }

    private String generateDepthString(int depth) {
        StringBuffer res = new StringBuffer();
        for (int i = 0; i < depth; i++) {
            res.append("--");
        }
        return res.toString();
    }
}

效果如下

java
5
--3
----2
------null
------null
----4
------null
------null
--6
----null
----8
------7
--------null
--------null
------null

获取二分搜索树的最小值与最大值 ​

二分搜索树有两个性质，①若它的左子树不为空，则左子树上所有节点的值都小于根节点的值；②若它的右子树不为空，则右子树上所有节点的值都大于根节点的值

根据二分搜索树的性质不难得到，最左侧底部的叶子节点就是二分搜索树的最小值，最右侧底部的叶子节点就是二分搜索树的最大值，根据递归获取到二分搜索树的最小值与最大值。

java
public class BST<E extends Comparable<E>> {
	public E minimum() {
        if (size == 0){
            throw new IllegalArgumentException("当前序列无数据");
        }
        return minimum(root).e;
    }

    private Node minimum(Node node) {
        if (node.left == null) {
            return node;
        }
        return minimum(node.left);
    }
}

上述代码是获取二分搜索树的最小值，下面是获取二分搜索树的最大值

java
public class BST<E extends Comparable<E>> {	
	public E maximum() {
        if (size == 0){
            throw new IllegalArgumentException("当前序列无数据");
        }
        return maximum(root).e;
    }

    private Node maximum(Node node) {
        if (node.right == null) {
            return node;
        }
        return maximum(node.right);
    }
}

删除二分搜索树的最大值与最小值 ​

删除最小值不难，由于最小值的左子树一定为空，如果左子树不为空说明它不是最小的，这个不难理解。但是最小值的右子树可能不为空，这样的情况下，我们需要将最小值的右子树根节点代替最小值的位置，这样就完成了删除最小值。

java
public class BST<E extends Comparable<E>> {	
	public E removeMin() {
        // 找到最小值
        E ret = minimum();
        root = removeMin(root);
        return ret;
    }

    private Node removeMin(Node node) {
        // 当子节点的左子树为null时，说明当前节点就是最小值
        if (node.left == null) {
            // 将要删除节点的右子树，代替删除节点的位置，右子树为空也没有关系，不影响
            Node rightNode = node.right;
            node.right = null;
            size--;
            return rightNode;
        }
        node.left = removeMin(node.left);
        return node;
    }
}

删除最大值与删除最小值相似，只不过需要考虑最大值左子树不为空的情况。

java
public class BST<E extends Comparable<E>> {	
    public E removeMax() {
        // 找到最大值
        E ret = maximum();
        root = removeMax(root);
        return ret;
    }

    private Node removeMax(Node node) {
        if (node.right == null) {
            Node leftNode = node.left;
            node.left = null;
            size--;
            return leftNode;
        }
        node.right = removeMax(node.right);
        return node;
    }
}

删除二分搜索树的任意值 ​

有了删除最大值与最小值的基础，被删除的节点无论是左子树为空还是右子树为空，处理方法和删除最大最小值相似。难点在于左右子树都不为空的情况，将当前节点设置为右子树的最小节点，挂载到当前节点的位置。

java
public class BST<E extends Comparable<E>> {	    
	public void remove(E e) {
        remove(root, e);
    }

    private Node remove(Node node, E e) {
        if (node == null) {
            return null;
        }
        if (e.compareTo(node.e) < 0) {
            // 如果 e<node.e 则当前节点去左子树去找
            node.left = remove(node.left, e);
            return node;
        } else if (e.compareTo(node.e) > 0) {
            // 如果 e>node.e 则当前节点去右子树去找
            node.right = remove(node.right, e);
            return node;
        } else {
            // 相等的情况，开始删除逻辑
            if (node.left == null) {
                // 左子树为空，将右子树挂载到当前节点，删除当前节点
                Node rightNode = node.right;
                node.right = null;
                size--;
                // 理解递归逻辑，直接返回右子树相当于完成了挂载逻辑
                return rightNode;
            }
            if (node.right == null) {
                // 右子树为空，将左子树挂载到当前节点，删除当前节点
                Node leftNode = node.left;
                node.left = null;
                size--;
                return leftNode;
            }
            // 左右子树都不为空，将当前节点设置为右子树的最小节点，挂载到当前节点的位置
            Node successor = minimum(node.right); // 获取右子树最小值
            // 以successor为根节点，右子树就是删除右子树最小值后的node节点
            successor.right = removeMin(node.right);
            // 以successor为根节点，左子树是不变的
            successor.left = node.left;
            // 原节点置空，交给GC处理
            node.left = node.right = null;
            return successor;
        }
    }
}

扩展：非递归实现前序遍历 ​

非递归需要借助”栈“数据结构，详细代码如下：

java
public void preOrderNT() {
    Stack<Node> stack = new Stack<>();
    stack.push(root);
    while (!stack.isEmpty()) {
        Node cur = stack.pop();
        System.out.println(cur.e);
        if (cur.right != null)
            stack.push(cur.right);
        if (cur.left != null)
            stack.push(cur.left);
    }
}

扩展：二分搜索树的层序遍历 ​

层序遍历，顾名思义就是一层层的遍历，借助”队列“数据结构实现。

java
public void levelOrder() {
    Queue<Node> queue = new LinkedList<>();
    queue.add(root);
    while (!queue.isEmpty()) {
        Node cur = queue.remove();
        System.out.println(cur.e);
        if (cur.left != null) {
            queue.add(cur.left);
        }
        if (cur.right != null) {
            queue.add(cur.right);
        }
    }
}

TIP

思考：根据层序遍历实现加强版toStringPlus方法，采用树状形式显示，难点在于空格的显示。